Формулы для правильного четырёхугольника

Правильный четырёхугольник (тетрагон) — квадрат

Правильный четырёхугольник (тетрагон) — выпуклый многоугольник с 4 равными сторонами.

Определение

Правильный четырёхугольник — четырёхугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон, n=4;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₄ — периметр правильного четырёхугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₄ — площадь правильного четырёхугольника.

Формулы

Половинный центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{α}=\frac{\text{π}}{4}\Leftrightarrow\text{α}=45^\text{°}}

Внутренний угол

${\text{β}}={\frac {\text{π}}{2}}\Leftrightarrow {\text{β}}=90^{\text{°}}$

Центральный угол

${\text{γ}}={\frac {\text{π}}{2}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=90^{\text{°}}$

Радиус вписанной окружности

$r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{4}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow r={\frac {1}{2}}a\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {2}}{2}}R$

Радиус описанной окружности

$R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{4}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {2}}r$

Периметр

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{4}=4a}

Площадь

$S_{4}=a^{2}ctg{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow S_{4}=4S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow S_{4}={\frac {1}{2}}P_{4}r\Leftrightarrow S_{4}=2ar\Leftrightarrow S_{4}=4r^{2}tg{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow S_{4}=4R^{2}sin{\frac {\text{π}}{4}}cos{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow S_{4}=2R^{2}sin{\frac {\text{π}}{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{4}=a^{2}\Leftrightarrow S_{4}=4r^{2}\Leftrightarrow S_{4}=2R^{2}$

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.