Формулы для правильного девятиугольника

Правильный девятиугольник (эннеагон)

Правильный девятиугольник (эннеагон) — выпуклый многоугольник с 9 равными сторонами.

Определение[править]

Правильный девятиугольник — девятиугольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон, n=9;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₉ — периметр правильного девятиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₉ — площадь правильного девятиугольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow {\text{α}}=20^{\text{°}}

{\text{β}}={\frac {7{\text{π}}}{9}}\Leftrightarrow {\text{β}}=140^{\text{°}}

{\text{γ}}={\frac {2{\text{π}}}{9}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=40^{\text{°}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{9}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{9}}

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{9}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{9}}

P_{9}=9a

S_{9}={\frac {9a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow S_{9}=9S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow S_{9}={\frac {1}{2}}P_{9}r\Leftrightarrow S_{9}={\frac {9}{2}}ar\Leftrightarrow S_{9}=9r^{2}tg{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow S_{9}=9R^{2}sin{\frac {\text{π}}{9}}cos{\frac {\text{π}}{9}}\Leftrightarrow S_{9}={\frac {9}{2}}R^{2}sin{\frac {2{\text{π}}}{9}}