Формулы для правильного двадцатиугольника

Правильный двадцатиугольник (икосагон)

Правильный двадцатиугольник (икосагон) — выпуклый многоугольник с 20 равными сторонами.

Определение

Правильный двадцатиугольник — двадцатиугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон, n=20;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₂₀ — периметр правильного двадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₂₀ — площадь правильного двадцатиугольника.

Формулы

Половинный центральный угол

${\text{α}}={\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow {\text{α}}=9^{\text{°}}$

Внутренний угол

${\text{β}}={\frac {9{\text{π}}}{10}}\Leftrightarrow {\text{β}}=162^{\text{°}}$

Центральный угол

${\text{γ}}={\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=18^{\text{°}}$

Радиус вписанной окружности

$r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{20}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{20}}$

Радиус описанной окружности

$R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{20}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{20}}$

Периметр

$P_{20}=20a$

Площадь

$S_{20}=5a^{2}ctg{\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow S_{20}=20S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow S_{20}={\frac {1}{2}}P_{20}r\Leftrightarrow S_{20}=10ar\Leftrightarrow S_{20}=20r^{2}tg{\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow S_{20}=20R^{2}sin{\frac {\text{π}}{20}}cos{\frac {\text{π}}{20}}\Leftrightarrow S_{20}=10R^{2}sin{\frac {\text{π}}{10}}$

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.