Формулы для правильного треугольника

Правильный треугольник (тригон) — равносторонний треугольник

Правильный треугольник (тригон) — выпуклый многоугольник с 3 равными сторонами.

Определение[править]

Правильный треугольник — треугольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон, n=3;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₃ — периметр правильного треугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₃ — площадь правильного треугольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow {\text{α}}=60^{\text{°}}

{\text{β}}={\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow {\text{β}}=60^{\text{°}}

{\text{γ}}={\frac {2{\text{π}}}{3}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=120^{\text{°}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{3}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a\Leftrightarrow r={\frac {1}{2}}R

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{3}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a\Leftrightarrow R=2r

P_{3}=3a

S_{3}={\frac {3}{4}}a^{2}ctg{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow S_{3}=3S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow S_{3}={\frac {1}{2}}P_{3}r\Leftrightarrow S_{3}={\frac {3}{2}}ar\Leftrightarrow S_{3}=3r^{2}tg{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow S_{3}=3R^{2}sin{\frac {\text{π}}{3}}cos{\frac {\text{π}}{3}}\Leftrightarrow S_{3}={\frac {3}{2}}R^{2}sin{\frac {2{\text{π}}}{3}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{3}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\Leftrightarrow S_{3}=3{\sqrt {3}}r^{2}\Leftrightarrow S_{3}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}