Формулы для правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник (пентагон)

Правильный пятиугольник (пентагон) — выпуклый многоугольник с 5 равными сторонами.

Определение

Правильный пятиугольник — пятиугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон, n=5;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₅ — периметр правильного пятиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₅ — площадь правильного пятиугольника.

Формулы

Половинный центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{α}=\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow \text{α}=36^\text{°}}

Внутренний угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{β}=\frac{3\text{π}}{5}\Leftrightarrow \text{β}=108^\text{°}}

Центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{γ}=\frac{2\text{π}}{5}\Leftrightarrow \text{γ}=72^\text{°}}

Радиус вписанной окружности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=\frac{a}{2}ctg\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow r=\frac{a}{2tg\frac{\text{π}}{5}}\Leftrightarrow r=R\ cos\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow r=\frac{a}{10}\sqrt{25+10\sqrt{5}}}

Радиус описанной окружности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\frac{a}{2}\text{csc}\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow R=\frac{a}{2sin\frac{\text{π}}{5}}\Leftrightarrow R=r\ sec\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow R=\frac{a}{10}\sqrt{50+10\sqrt{5}}}

Периметр

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{5}=5a}

Площадь

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{5}=\frac{5a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow S_{5}=5S_\text{Δ},\ S_\text{Δ}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow S_{5}=\frac{1}{2}P_{5}r\Leftrightarrow S_{5}=\frac{5}{2}ar\Leftrightarrow S_{5}=5r^2tg\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow S_{5}=5R^2sin\frac{\text{π}}{5}cos\frac{\text{π}}{5}\Leftrightarrow S_{5}=\frac{5}{2}R^2sin\frac{2\text{π}}{5}\Leftrightarrow }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{5}=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2\Leftrightarrow S_{5}=5\sqrt{5-2\sqrt{5}}r^2\Leftrightarrow S_{5}=\frac{5}{8}\sqrt{10+2\sqrt{5}}R^2}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.