Медиана дискретной случайной величины

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Теория вероятностей. Мода и медиана // bezbotvy [2:14]

Медиана — это числовая характеристика случайной величины, равная значению (случайной величины) для которого вероятность меньших значений меньше 0,5 и вероятность бо́льших значений меньше 0,5.

Содержание

[править] Обозначения

n — число значений дискретной случайной величины;

xj — j-ое значение случайной величины;

pj — вероятность появления j-ого значения случайной величины;

Me — медиана.

[править] Формулы

[math]Me=x_{i_{Me}}, \ i_{Me}=\arg\limits_{1 \le i \le n}\left\{\sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j \lt \frac{1}{2} \lt \sum\limits_{j=1}^{i}p_j \right\} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow Me=\begin{cases} \bar \exists, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \frac{1}{2} \\ x_i, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j \lt \frac{1}{2} \lt \sum\limits_{j=1}^{i}p_j \end{cases} [/math]
[math]Me=x_{i_{Me}}, \ i_{Me}=\arg\limits_{1 \le i \le n}\left\{\sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j \lt \frac{1}{2} \text{и } \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j \lt \frac{1}{2} \right\} \Leftrightarrow[/math]
[math]\Leftrightarrow Me=\begin{cases} \bar \exists, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j = \frac{1}{2} \\ x_i, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j \lt \frac{1}{2} \text{и } \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j \lt \frac{1}{2} \end{cases} [/math]
  • У дискретной случайной величины может не быть медианы, если в упорядоченном ряду её значений не выполняется условие для накопительных от начала сумм вероятностей и соответствующих накопительных сумм от конца.

При отсутствии медианы у дискретной случайной величины, если в упорядоченном ряду её значений есть накопительные от начала суммы вероятностей, равные 0,5, иногда применяют вспомогательную формулу:

[math]Me=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}, \text{если } \exists i \in N_{n-1} \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \frac{1}{2}[/math]
[math]\Rightarrow Me=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}, \text{если } \exists i \in N_{n-1} \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j = \frac{1}{2}[/math]

[править] См. также

[править] Другие формулы

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты