Медиана дискретной случайной величины

Теория вероятностей. Мода и медиана // bezbotvy [2:14]

Медиана, для дискретной случайной величины — числовая характеристика случайной величины, равная значению случайной величины для которой вероятность меньших значений меньше 0,5 и вероятность бо́льших значений меньше 0,5.

Обозначения

n — число значений дискретной случайной величины;

x_j — j-ое значение случайной величины;

p_j — вероятность появления j-ого значения случайной величины;

Me — медиана.

Формулы

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle Me=x_{i_{Me}},\ i_{Me}=\arg \limits _{1\leq i\leq n}\left\{\sum \limits _{j=1}^{i-1}p_{j}<{\frac {1}{2}}<\sum \limits _{j=1}^{i}p_{j}\right\}\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow Me={\begin{cases}{\bar {\exists }},{\text{если }}\exists i\in N_{n}\Rightarrow \sum \limits _{j=1}^{i}p_{j}={\frac {1}{2}}\\x_{i},{\text{если }}\exists i\in N_{n}\Rightarrow \sum \limits _{j=1}^{i-1}p_{j}<{\frac {1}{2}}<\sum \limits _{j=1}^{i}p_{j}\end{cases}}$

$Me=x_{i_{Me}},\ i_{Me}=\arg \limits _{1\leq i\leq n}\left\{\sum \limits _{j=1}^{i-1}p_{j}<{\frac {1}{2}}{\text{ и}}\sum \limits _{j=i+1}^{n}p_{j}<{\frac {1}{2}}\right\}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Me={\begin{cases}{\bar {\exists }},{\text{если }}\exists i\in N_{n}\Rightarrow \sum \limits _{j=1}^{i}p_{j}=\sum \limits _{j=i+1}^{n}p_{j}={\frac {1}{2}}\\x_{i},{\text{если }}\exists i\in N_{n}\Rightarrow \sum \limits _{j=1}^{i-1}p_{j}<{\frac {1}{2}}{\text{ и}}\sum \limits _{j=i+1}^{n}p_{j}<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

• У дискретной случайной величины может не быть медианы, если в упорядоченном ряду её значений не выполняется условие для накопительных от начала сумм вероятностей и соответствующих накопительных сумм от конца.

При отсутствии медианы у дискретной случайной величины, если в упорядоченном ряду её значений есть накопительные от начала суммы вероятностей, равные 0,5, иногда применяют вспомогательную формулу:

$Me={\frac {x_{i}+x_{i+1}}{2}},{\text{если }}\exists i\in N_{n-1}\Rightarrow \sum \limits _{j=1}^{i}p_{j}={\frac {1}{2}}$

$\Rightarrow Me={\frac {x_{i}+x_{i+1}}{2}},{\text{если }}\exists i\in N_{n-1}\Rightarrow \sum \limits _{j=1}^{i}p_{j}=\sum \limits _{j=i+1}^{n}p_{j}={\frac {1}{2}}$

• Вспомогательная формула медианы является условной (не соответствующей определению).

См. также

• Медиана непрерывной случайной величины

Другие формулы

1. средняя;
2. дисперсия;
3. среднеквадратическое отклонение;
4. среднее линейное отклонение;
5. мода;
6. медиана;
7. квартиль;
8. дециль;
9. начальный момент k-ого порядка;
10. центральный момент k-ого порядка;
11. коэффициент асимметрии;
12. коэффициент эксцесса.