Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Математическое ожидание

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Математическое ожидание // KhanAcademyRussian [15:28]
A.4.4 Распределение случайной величины. Матожидание, дисперсия и их свойства // dUdVstud [51:42]

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, вычисляемое через сумму произведений ее значений на вероятности этих значений (в случае непрерывной случайной величины для усреднения используется интеграл).

Одно из основных понятий теории вероятности.

Общетеоретическое определение[править]

Есть различные формулы для вычисления математического ожидания дискретных и непрерывных случайных величин[1], в их основе лежит интеграл Лебега, если случайная величина задана через обычным образом определённое вероятностное пространство.

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он и называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Математическое ожидание дискретной случайной величины[править]

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Тема // Матан [6:20]

Математическое ожидание, для дискретной случайной величины — взвешенная сумма всех значений случайной величины, взятых с их вероятностями[2].

Обозначения[править]

n — число значений дискретной случайной величины;

xj — j-ое значение дискретной случайной величины;

pj — вероятность появления j-ого значения случайной дискретной величины;

 — математическое ожидание дискретной случайной величины.

Формула[править]

Математическое ожидание непрерывной случайной величины[править]

Математическое ожидание, для непрерывной случайной величины — значение оговоренного интеграла функции плотности вероятности[3][4][5].

Обозначения[править]

X — непрерывная случайная величина;

fX(x) — функция плотности вероятности (дифференциальная функция распределения) непрерывной случайной величины;

M(X) — математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Формула[править]

Физический смысл[править]

Если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки ai массу pi (для дискретного распределения), или «размазав» её с плотностью F(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка математического ожидания будет координатой «центра тяжести» прямой[6].

Оценка[править]

Математическое ожидание является математическим понятием и может быть вычислена только для конкретных (известных) законов распределения (для дискретных случайных величин) или функций плотности (для непрерывных случайных величин) вероятности.

Для неизвестных законов/функций математическое ожидание может быть только оценено.[7]

Оптимальной оценкой математического ожидания является выборочное среднее.

Быстрой оценкой математического ожидания является минимаксное среднее.

Для симметричного распределения для оценки математического ожидания может быть использована выборочная медиана.[8]

См.также[править]

Источники[править]

Другие формулы для дискретной случайной величины[править]


Другие формулы для непрерывной случайной величины[править]