Гипотеза о равенстве средних при известной дисперсии

‡Гипотеза о равенстве средних при известной дисперсии — гипотеза о том, что при известных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.

Для нормально распределённой случайной величины использует статистику, имеющую стандартизованное распределение, N(0;1).

Обозначения

n_x — число значений в выборке X;

n_y — число значений в выборке Y;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar x_\text{Г}} — средняя генеральной совокупности X;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar y_\text{Г}} — средняя генеральной совокупности Y;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar x_\text{В} = \bar x} — средняя в выборке X, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar x = \frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}{x_i}} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar y_\text{В} = \bar y} — средняя в выборке Y, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar y = \frac{1}{n_y} \sum\limits_{i=1}^{n_y}{y_i}} ;

D_x=σ_x² — дисперсия генеральной совокупности X;

D_y=σ_y² — дисперсия генеральной совокупности Y;

α — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;

γ=1-α — коэффициент доверия;

x — переменная стандартизованной случайной величины;

u — статистика, распределённая по нормальному закону N(0;1);

— интегральная функция нормального закона распределения стандартизованной случайной величины;

— интегральная функция Лапласа, отличается от интегральной функции нормального закона для стандартизованной случайной величины на 0,5, т.е. Ф(x)=F(x)-0,5.

Гипотезы о средних:

— статистика, распределённая по нормальному закону N(0;1).

Пример 1

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_0: \bar x_\text{Г} = \bar y_\text{Г} ;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_1: \bar x_\text{Г} \text{ ≠ } \bar y_\text{Г} ;}

— критерий отклонения гипотезы H₀.

Пример 2

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_0: \bar x_\text{Г} = \bar y_\text{Г} ;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_1: \bar x_\text{Г} > \bar y_\text{Г} ;}

— критерий отклонения гипотезы H₀.

• Заметим, что u_1-α=-u_α.

Пример 3

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_0: \bar x_\text{Г} = \bar y_\text{Г} ;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H_1: \bar x_\text{Г} < \bar y_\text{Г} ;}

— критерий отклонения гипотезы H₀.

• Заметим, что u_α=-u_1-α.

Другие гипотезы:

1. Гипотеза о средней равной числу при известной дисперсии;
2. Гипотеза о средней равной числу при неизвестной дисперсии;
3. Гипотеза о дисперсии равной числу при известной средней;
4. Гипотеза о дисперсии равной числу при неизвестной средней;
5. Гипотеза о равенстве дисперсий;
6. Гипотеза о равенстве межгрупповой и внутригрупповой дисперсий;
7. Гипотеза о равенстве нескольких дисперсий;
8. Гипотеза о равенстве средних при известной дисперсии;
9. Гипотеза о равенстве средних при неизвестной дисперсии;
10. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях;
11. Гипотеза о равенстве разности средних числу при известных дисперсиях;
12. Гипотеза о вероятности равной числу;
13. Гипотеза о равенстве вероятностей;
14. Гипотеза о нормальном законе распределения;
15. Гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи;
16. Гипотеза о коэффициенте линейного уравнения регрессии равном нулю;
17. Гипотеза о коэффициенте линейного уравнения множественной регрессии равном нулю;
18. Гипотеза о значимости линейного уравнения регрессии;
19. Гипотеза о значимости линейного уравнения множественной регрессии;
20. Гипотеза о коэффициенте корреляции равном числу;
21. Гипотеза о коэффициенте корреляции равном нулю;
22. Гипотеза о равенстве коэффициентов корреляции.

Ссылки

• https://mse.msu.ru/wp-content/uploads/2020/03/Лекция-7-Две-выборки-дополнительный-материал.pdf?ysclid=lw95m4ujxc524332566
• Участник:Logic-samara