Таубер, Альфред

Альфред Таубер

Научный деятель

Файл:Alfred Tauber.jpg

Дата рождения

5 ноября 1866

Место рождения

Пресбург, Королевство Венгрия, Австрийская империя (ныне Братислава, Словакия)

Дата смерти

26 июля 1942

Место смерти

Концентрационный лагерь Терезиенштадт, Чехословакия

Научная сфера

Математика

Место работы

Венский технический университет
Венский университет

Альма-матер

Венский университет

Научный руководитель

• Густав фон Эшерих
• Эмиль Вейр

Известен как

Тауберовы теоремы

учёный

А́льфред Та́убер (англ. Alfred Tauber; ^{[Нет даты!]}) — австрийский математик. Известен вкладом в математический анализ и теорию функций комплексного переменного, а также как создатель важного класса теорем, применяемых в гармоническом анализе и теории чисел.

Биография

Родился в Пресбурге (ныне Братислава, Словакия). В 1884 году начал изучать математику в Венском университете. В 1889 году получил степень доктора философии, а в 1891 году прошёл хабилитацию.

С 1892 по 1908 год работал главным математиком в страховой компании Phönix. В 1908 году стал экстраординарным профессором Венского университета. С 1901 года также являлся почётным профессором Венского технического университета и директором кафедры страховой математики. В 1933 году награждён Большим серебряным почётным знаком «За заслуги перед Австрийской Республикой» и вышел на пенсию в статусе эмерита. Продолжал читать лекции в качестве приват-доцента до 1938 года. После Аншлюса был вынужден уйти в отставку.

Таубер жил в Вене, а после распада империи — в Австрии. 28–29 июня 1942 года из-за еврейского происхождения был депортирован транспортом IV/2, č. 621 в концентрационный лагерь Терезиенштадт. Убит 26 июля 1942 года.

Научная деятельность

Pinl & Dick (1974, p. 202) приводят 35 публикаций в библиографии, приложенной к его некрологу. Поиск в базе данных Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik также выдаёт список из 35 математических работ, написанных им в период с 1891 по 1940 год. Однако Hlawka (2007) цитирует две статьи по актуарной математике, которых нет в этих списках. Библиография работ Таубера, составленная Биндером (1984, с. 163–166), включает 71 запись, но не содержит краткой заметки (Tauber 1895). Точное количество его работ неизвестно.

Согласно Hlawka (2007), научные исследования Таубера делятся на три области: теория функций комплексного переменного и теория потенциала; линейные дифференциальные уравнения и гамма-функция; актуарная математика. Pinl & Dick (1974, p. 202) дают более подробный список тем, включая бесконечные ряды, ряды Фурье, сферические функции, теорию кватернионов, аналитическую и начертательную геометрию. Наиболее важные научные достижения Таубера относятся к первой из его исследовательских областей. Его работы по теории потенциала остались в тени исследований Александра Ляпунова.

Тауберовы теоремы

Его самая важная статья опубликована в 1897 году. В этой работе он впервые доказал обратную теорему Абеля. Этот результат стал отправной точкой для многочисленных исследований. Они привели к доказательству и применению подобных теорем для различных методов суммирования. Формулировка этих теорем имеет стандартную структуру: если ряд ∑ a_n суммируем по заданному методу и удовлетворяет дополнительному «тауберову условию», то он является сходящимся. С 1913 года Г. Х. Харди и Дж. И. Литлвуд использовали термин «тауберовы» для обозначения этого класса теорем. Основными достижениями работы 1897 года являются две теоремы:

Шаблон:EquationRef. Если ряд ∑ a_n суммируем по Абелю к сумме s, то есть lim_{x→ 1⁻}  a_n x ⁿ =  s, и если кроме того a_n = ο(n⁻¹), то ∑ a_k сходится к s.

Эта теорема, согласно Korevaar (2004, p. 10), является предшественницей всей тауберовой теории. Условие a_n = ο(n⁻¹) — это первое тауберово условие, которое позже получило множество обобщений. Используя эту теорему, Таубер доказал более общий результат:

Шаблон:EquationRef. Ряд ∑ a_n сходится к сумме s тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1. ∑ a_n суммируем по Абелю и
2. k a_k = ο(n).

Этот результат не является тривиальным следствием Шаблон:EquationNote. Он доказывает точную эквивалентность между обычной сходимостью и суммируемостью по Абелю совместно с тауберовым условием. Chatterji (1984, pp. 169–170) утверждает, что этот результат формулирует необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Вторая теорема упоминается реже, так как не имеет глубоких обобщений, хотя занимает важное место в теории суммируемости рядов.

Вклад в теорию преобразования Гильберта

Фредерик В. Кинг (2009, с. 3) пишет, что Таубер внёс ранний вклад в теорию «преобразования Гильберта», предвосхитив работы Гильберта и Харди. В работе Tauber (1891) рассматриваются действительная часть φ и мнимая часть ψ степенного ряда f:

$f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )$

где

• z = re ^iθ , где r — абсолютное значение комплексной переменной,
• c_k r ^k = a_k + ib_k для каждого натурального числа k,
• φ(θ) = a_kcos(kθ) − b_ksin(kθ) и ψ(θ) = a_ksin(kθ) + b_kcos(kθ) — тригонометрические ряды и периодические функции.

При условии, что r меньше радиуса сходимости R_f, Таубер доказывает, что φ и ψ удовлетворяют уравнениям:

Шаблон:EquationRef$\varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi$

Шаблон:EquationRef$\psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi$

Предполагая r = R_f, он доказывает, что уравнения выполняются, если φ и ψ абсолютно интегрируемы. Этот результат эквивалентен определению преобразования Гильберта на окружности. Уравнения Шаблон:EquationNote и Шаблон:EquationNote эквивалентны паре преобразований Гильберта:

$\varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi$

В заметке (Tauber 1895) Таубер привёл применение этих результатов:

комплекснозначная непрерывная функция φ(θ) + iψ(θ), определённая на окружности, является граничным значением голоморфной функции, определённой в её открытом круге, тогда и только тогда, когда:

1. функция [φ(θ − α) − φ(θ + α)]/α равномерно интегрируема в каждой окрестности точки α = 0, и
2. функция ψ(θ) удовлетворяет уравнению.

Публикации

• Tauber, Alfred (1891), "«Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe»", Monatshefte für Mathematik und Physik Т. II: 79–118, doi:10.1007/bf01691828, <http://www.literature.at/webinterface/library/ALO-BOOK_V01?objid=12451&page=82&zoom=3&ocr=> .
• Tauber, Alfred (1895), "«Ueber die Werte einer analytischen Function längs einer Kreislinie»", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Т. 4: 115, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN37721857X_0004&DMDID=DMDLOG_0041&LOGID=LOG_0041&PHYSID=PHYS_0122&L=1>. Проверено 16 июля 2014. .
• Tauber, Alfred (1897), "«Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen»", Monatshefte für Mathematik und Physik Т. VIII: 273–277, doi:10.1007/BF01696278, <http://www.literature.at/viewer.alo?viewmode=overview&olfullscreen=true&objid=12409&page=280> .
• Tauber, Alfred (1898), "«Über einige Sätze der Potentialtheorie»", Monatshefte für Mathematik und Physik Т. IX: 79–118, doi:10.1007/BF01707858, <http://www.literature.at/alo?objid=12410> .
• Tauber, Alfred (1920), "«Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus»", Mathematische Zeitschrift Т. 8 (1–2): 52–62, doi:10.1007/bf01212858, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002365529> .
• Tauber, Alfred (1922), "«Über die Umwandlung von Potenzreihen in Kettenbrüche»", Mathematische Zeitschrift Т. 15: 66–80, doi:10.1007/bf01494383, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002366959> .

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Таубер, Альфредангл. — биография в архиве MacTutor.
• Таубер, Альфредангл. в проекте «Математическая генеалогия»

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Таубер, Альфред», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Таубер,_Альфред Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».