Математическое ожидание

Математическое ожидание // KhanAcademyRussian [15:28]

A.4.4 Распределение случайной величины. Матожидание, дисперсия и их свойства // dUdVstud [51:42]

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, вычисляемое через сумму произведений ее значений на вероятности этих значений (в случае непрерывной случайной величины для усреднения используется интеграл).

Одно из основных понятий теории вероятности.

Общетеоретическое определение

Есть различные формулы для вычисления математического ожидания дискретных и непрерывных случайных величин, в их основе лежит интеграл Лебега, если случайная величина задана через обычным образом определённое вероятностное пространство.

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$ и определённая на нём случайная величина $X$. То есть, по определению, $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от $X$ по пространству $\Omega$, то он и называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается $M[X]$ или $\mathbb {E} [X]$.

$\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).$

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Тема // Матан [6:20]

Математическое ожидание, для дискретной случайной величины — взвешенная сумма всех значений случайной величины, взятых с их вероятностями.

Обозначения

n — число значений дискретной случайной величины;

x_j — j-ое значение дискретной случайной величины;

p_j — вероятность появления j-ого значения случайной дискретной величины;

${\bar {x}}$ — математическое ожидание дискретной случайной величины.

Формула

${\bar {x}}=\sum \limits _{j=1}^{n}p_{j}x_{j}\Leftrightarrow {\bar {x}}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\ldots +p_{n}x_{n}$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание, для непрерывной случайной величины — значение оговоренного интеграла функции плотности вероятности.

Обозначения

X — непрерывная случайная величина;

f_X(x) — функция плотности вероятности (дифференциальная функция распределения) непрерывной случайной величины;

M(X) — математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Формула

$M(X)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)dx$

Физический смысл

Если на прямой разместить единичную массу, поместив в точки a_i массу p_i (для дискретного распределения), или «размазав» её с плотностью F(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка математического ожидания будет координатой «центра тяжести» прямой.

Оценка

Математическое ожидание является математическим понятием и может быть вычислена только для конкретных (известных) законов распределения (для дискретных случайных величин) или функций плотности (для непрерывных случайных величин) вероятности.

Для неизвестных законов/функций математическое ожидание может быть только оценено.

Оптимальной оценкой математического ожидания является выборочное среднее.

Быстрой оценкой математического ожидания является минимаксное среднее.

Для симметричного распределения для оценки математического ожидания может быть использована выборочная медиана.

См.также

• Средняя величина

Другие формулы для дискретной случайной величины

• средняя;
• дисперсия;
• среднеквадратическое отклонение;
• среднее линейное отклонение;
• мода;
• медиана;
• квартиль;
• дециль;
• начальный момент k-ого порядка;
• центральный момент k-ого порядка;
• коэффициент асимметрии;
• коэффициент эксцесса.

Другие формулы для непрерывной случайной величины

• средняя;
• дисперсия;
• среднеквадратическое отклонение;
• среднее линейное отклонение;
• мода;
• медиана;
• квартиль;
• дециль;
• начальный момент k-ого порядка;
• центральный момент k-ого порядка;
• коэффициент асимметрии;
• коэффициент эксцесса.