Функция общественного благосостояния

Функция общественного благосостояния (англ. social welfare function) ― зависимость, которая соотносит благосостояние общества в целом с благосостоянием индивидуумов.

Определение

Функция социального обеспечения — это функция, которая ранжирует социальные состояния (альтернативные полные описания общества) как менее желательные, более желательные или безразличные для каждой возможной пары социальных состояний. Входные данные функции включают любые переменные, которые, как считается, влияют на экономическое благосостояние общества. При использовании мер благосостояния людей в обществе в качестве исходных данных функция социального обеспечения носит индивидуалистический характер. Одним из применений функции социального обеспечения является представление перспективных моделей коллективного выбора в отношении альтернативных социальных состояний. Функция социального обеспечения предоставляет правительству простой ориентир для достижения оптимального распределения доходов.

Функция социального обеспечения аналогична потребительской теории кривых безразличия-бюджетных ограничений для индивида, за исключением того, что функция социального обеспечения представляет собой отображение индивидуальных предпочтений или суждений каждого в обществе относительно коллективного выбора, которые применяются ко всем, независимо от индивидуальных предпочтений для (переменных) ограничений на факторы производства. Одним из пунктов функции социального обеспечения является определение того, насколько близка аналогия к порядковой функции полезности для индивида с по крайней мере минимальными ограничениями, предлагаемыми экономикой благосостояния, включая ограничения на количество факторов производства.

Типы функций

Существует два основных различных, но взаимосвязанных типа функций социального обеспечения:

• функция социального обеспечения Бергсона-Самуэльсона, которая рассматривает благосостояние для данного набора индивидуальных предпочтений или рейтингов благосостояния.
• функция социального обеспечения Arrow рассматривает благосостояние по различным возможным наборам индивидуальных предпочтений или рейтингов благосостояния и, казалось бы, разумным аксиомам, которые ограничивают функцию.

Функция социального обеспечения Бергсона-Самуэльсона

В статье 1938 года Абрам Бергсон ввел функцию социального обеспечения. Цель состояла в том, чтобы «изложить в точной форме оценочные суждения, необходимые для определения условий максимального экономического благосостояния», изложенные более ранними авторами, включая Маршалла и Пигу, Парето и Барона и Лернера. Функция была реальной и дифференцируемой. Было указано описать общество в целом. Аргументы функции включали количество различных товаров, произведенных и потребленных, и ресурсов, используемых для производства различных товаров, включая рабочую силу.

Необходимыми общими условиями являются то, что при максимальном значении функции:

• Предельная «долларовая стоимость» благосостояния равна для каждого человека и для каждого товара
• Предельная «неисправность» каждой «долларовой стоимости» труда равна для каждого товара, произведенного каждым поставщиком рабочей силы.
• Предельная «долларовая» стоимость каждой единицы ресурсов равна предельной стоимости производительности для каждого товара.

Бергсон показал, как экономика благосостояния может описать стандарт экономической эффективности, несмотря на отказ от межличностно сопоставимой кардинальной полезности, гипотеза которой может просто скрывать оценочные суждения, причем чисто субъективные.

Более ранняя неоклассическая теория благосостояния, наследница классического утилитаризма Бентама, нередко рассматривала закон убывающей предельной полезности как подразумевающий межличностно сопоставимую полезность, необходимое условие для достижения цели максимизации общей полезности общества. Независимо от такой сопоставимости, доход или богатство поддаются измерению, и обычно делался вывод, что перераспределение дохода от богатого человека к бедному человеку имеет тенденцию увеличивать общую полезность (независимо от того, измеряется ли она) в обществе.* Но Лайонел Роббинс (1935, гл. VI) утверждал, что то, как или сколько полезностей, как ментальные события, изменились бы относительно друг друга, не измеряется никаким эмпирическим тестом. Они также не выводятся из форм стандартных кривых безразличия. Следовательно, преимущество в том, что вы можете обойтись без межличностной сопоставимости полезности, не воздерживаясь от теории благосостояния. Практической квалификацией для этого было любое сокращение выпуска от передачи. Вспомогательные спецификации позволяют сравнивать различные социальные состояния каждым членом общества в удовлетворении предпочтений. Это помогает определить эффективность Парето, которая сохраняется, если все альтернативы были исчерпаны, чтобы поставить хотя бы одного человека в более предпочтительное положение, и никто не поставлен в менее предпочтительное положение. Бергсон описал «повышение экономического благосостояния» (позже названное улучшением Парето) как по крайней мере один человек, переходящий на более предпочтительное положение, когда все остальные равнодушны. Затем функция социального обеспечения может быть определена в субстантивно индивидуалистическом смысле, чтобы получить эффективность Парето (оптимальность). Пол Самуэльсон (Paul Samuelson, 2004, p. 26) отмечает, что функция Бергсона «может вывести условия оптимальности Парето как необходимые, но недостаточные для определения межличностной нормативной справедливости». Тем не менее, эффективность Парето может также характеризовать один аспект конкретной функции социального обеспечения с распределением товаров между людьми, характеризующим другое измерение. Как отметил Бергсон, улучшение благосостояния от функции социального обеспечения может происходить за счет «положения одних лиц», улучшающегося за счет других. Эта функция социального обеспечения может быть охарактеризована как характеризующая аспект справедливости.

Самуэльсон (Samuelson, 1947, p. 221) сам подчеркивал гибкость функции социального обеспечения для характеристики любого этического убеждения, связанного с Парето или нет, в соответствии с:

полный и транзитивный рейтинг (этически «лучше», «хуже» или «безразлично») всех социальных альтернатив и один из них излагается из бесконечности индексов благосостояния и кардинальных показателей, чтобы охарактеризовать убеждение. Он также представил ясное вербальное и математическое изложение функции социального обеспечения (1947, стр. 219-49) с минимальным использованием множителей Лагранжа и без сложной нотации дифференциалов, используемых Бергсоном повсюду. Как отмечает Самуэльсон (Samuelson, 1983, p. xxii), Бергсон разъяснил, чем условия эффективности производства и потребления отличаются от межличностных этических ценностей функции социального обеспечения.

Самуэльсон еще больше обострил это различие, указав функцию благосостояния и функцию возможности (1947, стр. 243-49). Каждый из них имеет в качестве аргументов набор функций полезности для всех в обществе. Каждый из них может (и обычно включает) эффективность Парето. Функция «Возможность» также зависит от технологических и ресурсных ограничений. Он написан в неявной форме, отражая возможный локус комбинаций полезности, налагаемых ограничениями и допускаемых эффективностью Парето. В заданной точке функции Возможности, если определяется полезность всех, кроме одного человека, определяется полезность оставшегося человека. Функция благосостояния ранжирует различные гипотетические наборы полезности для всех в обществе от этически самых низких до (с разрешенными связями), то есть она делает межличностные сравнения полезности. Таким образом, максимизация благосостояния состоит в максимизации функции благосостояния, подчиненной функции возможности в качестве ограничения. Возникают те же условия максимизации благосостояния, что и в анализе Бергсона.

Для общества из двух человек существует графическое изображение такой максимизации благосостояния на первой фигуре функций социального обеспечения Бергсона-Самуэльсона. Относительно потребительской теории для индивида относительно двух потребляемых товаров существуют следующие параллели:

• Соответствующие гипотетические полезности двух лиц в двумерном пространстве полезности аналогичны соответствующим количествам товаров для двумерного товарного пространства поверхности кривой безразличия.
• Функция благосостояния аналогична карте кривой безразличия
• Функция «Возможность» аналогична бюджетному ограничению
• Максимизация благосостояния двух человек по касательной наибольшей кривой функции благосостояния на функции Возможности аналогична тангенции кривой наибольшего безразличия на бюджетном ограничении.

Стрелка функции социального обеспечения (конституция) Кеннет Эрроу (1963) обобщает анализ. Наряду с более ранними линиями, его версия функции социального обеспечения, также называемая «конституцией», сопоставляет набор индивидуальных порядков (порядковых функций полезности) для всех в обществе с социальным порядком, правилом ранжирования альтернативных социальных государств (скажем, принятие принудительного закона или нет, при прочих равных условиях). Эрроу обнаруживает, что ничто из поведенческого значения не теряется при отказе от требования социальных упорядочений, которые являются реально значимыми (и, следовательно, кардинальными), в пользу упорядочений, которые являются просто полными и транзитивными, такими как стандартная карта кривой безразличия. Более ранний анализ сопоставлял любой набор индивидуальных упорядочений с одним социальным упорядочением, каким бы он ни был. Это социальное упорядочение выбрало наиболее подходящую альтернативу из экономической среды в отношении ограниченности ресурсов. Эрроу предложил изучить сопоставление различных наборов индивидуальных упорядочений с возможными различными социальными упорядочениями. Здесь социальное упорядочение будет зависеть от набора индивидуальных упорядочений, а не быть навязанным (инвариантным к ним). Потрясающе (относительно курса теории Адама Смита и Джереми Бентама) Эрроу доказал общую теорему о невозможности, которая говорит, что невозможно иметь функцию социального обеспечения, которая удовлетворяет определенному набору «кажущихся разумными» условий.

Кардинальные функции социального обеспечения

Кардинальная функция социального обеспечения — это функция, которая принимает в качестве входных числовых представлений индивидуальных полезностей (также известных как кардинальная полезность) и возвращает в качестве выходных данных числовое представление коллективного благосостояния. Основное предположение заключается в том, что индивидуальные утилиты могут быть поставлены в общую шкалу и сопоставлены. Примерами таких мер могут быть:

• продолжительность жизни,
• доход на душу населения.

Для целей настоящего раздела доход принимается в качестве показателя полезности.

Форма функции социального обеспечения предназначена для выражения постановки целей общества.

Утилитарная или бентамовская функция социального обеспечения измеряет социальное благосостояние как общую сумму или сумму индивидуальных доходов:

$W=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}$

где $W$ социальное обеспечение и $Y_{i}$ является доходом физического лица $i$ среди $n$ nиндивиды в обществе. В этом случае максимизация социального благосостояния означает максимизацию общего дохода людей в обществе, независимо от того, как распределяются доходы в обществе. В нем не проводится различия между передачей дохода от богатых к бедным и наоборот. Если передача доходов от бедных к богатым приводит к большему увеличению полезности богатых, чем к снижению полезности бедных, общество, как ожидается, примет такой трансферт, потому что общая полезность общества возросла в целом. В качестве альтернативы, благосостояние общества также может быть измерено в рамках этой функции путем взятия среднего значения индивидуальных доходов:

$W={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}={\overline {Y}}$

Напротив, max-min или функция социального обеспечения Ролза (основанная на философской работе Джона Ролза) измеряет социальное благосостояние общества на основе благосостояния наименее обеспеченного индивидуального члена общества:

$W=\min(Y_{1},Y_{2},\cdots ,Y_{n})$

Здесь максимизация общественного благосостояния означала бы максимизацию дохода самого бедного человека в обществе без учета доходов других людей.

Эти две функции социального обеспечения выражают очень разные взгляды на то, как общество должно быть организовано, чтобы максимизировать благосостояние, причем первая подчеркивает общие доходы, а вторая подчеркивает потребности наиболее обеспеченных. Функцию максимального минимального благосостояния можно рассматривать как отражение крайней формы неприятия неопределенности со стороны общества в целом, поскольку она касается только худших условий, с которыми может столкнуться член общества.

Амартия Сен предложил функцию социального обеспечения в 1973 году:

$W_{\mathrm {Gini} }={\overline {Y}}(1-G)$

Средний доход на душу населения измеряемой группы (например, нации) умножается на $(1-G)$ где $G$ — индекс Джини, мера относительного неравенства. Джеймс Э. Фостер (1996) предложил использовать один из индексов Аткинсона, который является мерой энтропии. Из-за связи между мерой энтропии Аткинсона и индексом Тейла функция благосостояния Фостера также может быть вычислена непосредственно с использованием индекса Тейла-L.

$W_{\mathrm {Theil-L} }={\overline {Y}}\mathrm {e} ^{-T_{L}}$

Значение, выдаваемое этой функцией, имеет конкретное значение. Существует несколько возможных доходов, которые может получить человек, который случайным образом выбирается из населения с неравномерным распределением доходов. Эта функция благосостояния отмечает доход, который случайно выбранный человек, скорее всего, будет иметь. Как и медианный, этот доход будет меньше среднего дохода на душу населения.

$W_{\mathrm {Theil-T} }={\overline {Y}}\mathrm {e} ^{-T_{T}}$

Здесь применяется индекс Theil-T. Обратное значение, получаемое этой функцией, также имеет конкретное значение. Существует несколько возможных доходов, к которым может принадлежать евро, который случайным образом выбирается из суммы всех неравномерно распределенных доходов. Эта функция благосостояния отмечает доход, к которому, скорее всего, принадлежит случайно выбранный евро. Обратное значение этой функции будет больше среднего дохода на душу населения.

Статья об индексе Тейла содержит дополнительную информацию о том, как этот индекс используется для вычисления функций благосостояния.

Аксиомы кардинальского благосостояния Предположим, что нам дано отношение предпочтенийRдля профилей полезности. R— это слабый общий порядок по профилям полезности — он может сказать нам, учитывая любые два профиля полезности, являются ли они безразличными или один из них лучше другого. Разумный порядок предпочтений должен удовлетворять нескольким аксиомам:

1.Монотонность, т.е. если полезность индивида увеличивается, в то время как все остальные полезности остаются равными, R следует строго предпочесть второй профиль. Например, он должен предпочесть профиль (1,4,4,5) (1,2,4,5). Это связано с оптимальностью Парето.

2.Симметрия, т.е. Rдолжна быть безразлична к перестановке чисел в профиле утилиты. Например, он должен быть безразличен между (1,4,4,5) и (5,4,1,4).

3.Непрерывность: для каждого профиляv набор профилей слабо лучше, чемv, а набор профилей слабо хуже, чемv, являются закрытыми наборами.

4.Независимость незаинтересованных агентов, т.е. Rдолжна быть независимой от лиц, чьи коммунальные услуги не изменились. Например, еслиRпредпочитает (2,2,4) (1,3,4), то он также предпочитает (2,2,9) (1,3,9); полезность агента 3 не должна влиять на сравнение двух профилей полезности агентов 1 и 2. Это свойство также можно назвать локальностью или отделимостью. Это позволяет нам рассматривать проблемы распределения на местном уровне и отделять их от распределения в остальном обществе.

Каждое отношение предпочтений со свойствами 1–4 может быть представлено как функцияW, которая является суммой вида:

$W(u_{1},\dots ,u_{n})=\sum _{i=1}^{n}w(u_{i})$

где w — непрерывная возрастающая функция.

Также разумно требовать:

5.Независимость общей шкалы, т.е. отношение между двумя профилями полезности не изменяется, если оба они умножаются на один и тот же скаляр (например, отношение не зависит от того, измеряем ли мы доход в центах, долларах или тысячах).

Если отношение предпочтений имеет свойства 1–5, то функцияwпринадлежит к следующему однопараметрическому семейству:

• $w_{p}(x)=x^{p}$ for $p>0$,
• $w_{0}(x)=\ln(x)$ for $p=0$,
• $w_{p}(x)=-x^{p}$ for $p<0$.

В этой семье есть несколько знакомых членов:

Предел, когда $p\to -\infty$ является порядком лексимина; Для $p=0$ мы получаем переговорное решение Нэша — максимизация продукта коммунальных услуг; Для $p=1$ мы получаем утилитарную функцию благосостояния — максимизацию суммы полезностей; Предел, когда $p\to \infty$ — это упорядочивание лексимакса. Если, кроме того, мы требуем:

6.Принцип Пигу-Дальтона,

тогда параметрp, в приведенном выше семействе, должен быть не более 1.

Ссылки

• Social welfare function // Английская Википедия

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Руниверсалис» («Руни», руни.рф), называющаяся «Функция общественного благосостояния». Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».