Основание перпендикуляра из точки к прямой в трёхмерном пространстве

Основание перпендикуляра из точки к прямой — это точка пересечения перпендикуляра и прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор точки прямой;

[math]\displaystyle{ \bar r_2=(x_2,y_2,z_2) }[/math] — радиус-вектор основания перпендикуляра;

[math]\displaystyle{ \bar s_1=(l_1,m_1,n_1) }[/math] — направляющий вектор прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} }[/math] — уравнение прямой;

[math]\displaystyle{ p_{01} }[/math] — отклонение точки прямой от перпендикулярной плоскости, проходящей через точку перпендикуляра.

Формулы

Векторная форма:

Координатная форма:

• Заметим, что формулы основания перпендикуляра из (заданной) точки к прямой аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к плоскости, при этом за точку берётся точка прямой, а за плоскость берётся перпендикулярная к прямой плоскость, проходящая через точку.

Пример

Даны точка и прямая: [math]\displaystyle{ (-4;3;5) }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} }[/math].

Найти основание перпендикуляра из точки к прямой.

Решение.

Другие формулы

• Основание перпендикуляра из точки к прямой;
• Основание перпендикуляра из точки к плоскости;
• Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
• Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
• Точка пересечения прямой и плоскости;
• Точка пересечения трёх плоскостей;
• Точка деления отрезка в данном отношении;
• Точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
• Точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
• Точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.

Ссылки

• Участник:Logic-samara