Основание перпендикуляра из точки к прямой в трёхмерном пространстве

Основание перпендикуляра из точки к прямой — это точка пересечения перпендикуляра и прямой.

Обозначения

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор точки прямой;

${\bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ — радиус-вектор основания перпендикуляра;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой;

${\frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{n_{1}}}$ — уравнение прямой;

$p_{01}$ — отклонение точки прямой от перпендикулярной плоскости, проходящей через точку перпендикуляра.

Формулы

Векторная форма:

Координатная форма:

• Заметим, что формулы основания перпендикуляра из (заданной) точки к прямой аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к плоскости, при этом за точку берётся точка прямой, а за плоскость берётся перпендикулярная к прямой плоскость, проходящая через точку.

Пример

Даны точка и прямая: $(-4;3;5)$ и ${\frac {x-1}{-2}}={\frac {y+5}{3}}={\frac {z+1}{4}}$.

Найти основание перпендикуляра из точки к прямой.

Решение.

Другие точки:

• проекция точки на прямую;
• проекция точки на плоскость;
• основание перпендикуляра из точки к прямой;
• основание перпендикуляра из точки к плоскости;
• точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
• точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
• точка пересечения прямой и плоскости;
• точка пересечения трёх плоскостей;
• точка, равноудалённая от двух прямых;
• точка, равноудалённая от четырёх точек;
• точка деления отрезка в данном отношении;
• точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
• точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
• точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.

Ссылки

• Участник:Logic-samara