Длина дуги эвольвенты окружности

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эвольвента окружности

Длина дуги эвольвенты окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги эвольвенты окружности в единицах измерения длины.

Эвольвента окружности — это линия, исходящая из начальной точки M0 на окружности, описываемая точкой M (против часовой стрелки), лежащей (справа) на касательной к окружности в точке L и отстоящей от этой точки L на длину дуги окружности M0L от начальной точки до этой точки.

Рассмотрим дуги эвольвенты окружности, исходящей из точки (R, 0).

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

x1 — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

t1 — параметр первой точки дуги;

x2 — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

t2 — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности;

M = (x, y) — точка эвольвенты;

L — точка окружности;

M0 = (R, 0) — начальная точка эвольвенты;

t — параметрическая переменная;

x = R(cost + tsint) — параметрическое уравнение абсциссы эвольвенты окружности;

y = R(sint − tcost) — параметрическое уравнение ординаты эвольвенты окружности;

Lдуг.эвол — длина дуги эвольвенты окружности.

[править] Формула

[math]L_\text{дуг.эвол}=\frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \lt \infty[/math]
  • Заметим, что длина дуги эвольвенты окружности M0M от начальной точки равна Lt = Rt2/2.

[править] Вывод формулы

[math]L_\text{дуг.эвол}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(x'_t(t)\right)^2+\left(y'_t(t)\right)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\left(R\cos t+Rt\sin t\right)'_t\right]^2+\left[\left(R\sin t-Rt\cos t\right)'_t\right]^2}dt=[/math]
[math]=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(Rt\cos t\right)^2+\left(Rt\sin t\right)^2}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{t^2\cos^2t+t^2\sin^2t}dt=[/math]
[math]=R\int\limits_{t_1}^{t_2}tdt = \left.\frac{1}{2}Rt^2\right|_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right) \Rightarrow L_\text{дуг.эвол}=\frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right)[/math]

[править] Другие формулы

[править] Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.783.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты