Площадь сферы

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шар
1710. В.П. Минорский. Площадь сферы [6:37]

Площадь сферы (площадь поверхности шара) — это число, характеризующее шар в единицах измерения площади.

Шар — это тело, ограниченное поверхностью вращения (сферой), образующей окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через её центр.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

Sшар — площадь поверхности шара;

Vшар — объём шара.

[править] Формула

[math]S_\text{шар}=4\pi R^2 \Leftrightarrow S_\text{шар}=\frac{3}{R}V_\text{шар}, \ V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow S_\text{шар}=\pi D^2, \ D=2R[/math]

[править] Вывод формулы

[math]S_\text{шар}=2\pi\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}^{\text{ }'}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=[/math]
[math]=2\pi\int\limits_{-R}^R Rdx = 4\pi R\int\limits_0^R 1dx=\left.4\pi Rx\right|_0^R=4\pi R^2 \Rightarrow S_\text{шар} = 4\pi R^2[/math]

[править] Другие формулы

[править] Литература

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты