Энфло, Пер

Пер Энфло

швед. Per Enflo

Файл:Per Enflo 1972 (rescanned C, headshot).jpg

Энфло в 1972 году

Дата рождения

20 мая 1944 года

Место рождения

Стокгольм, Швеция

Род деятельности

математик, пианист

Пер Х. Энфло (швед. Per H. Enflo; ^{[Нет даты!]}) — шведский математик и пианист. Известен решением фундаментальных проблем в функциональном анализе, включая проблему аппроксимации и проблему инвариантного подпространства для банаховых пространств.

Карьера

Энфло работает в Кентском государственном университете в должности профессора. Ранее он занимал должности в Институте фундаментальных исследований в области науки Миллера при Калифорнийском университете в Беркли, Стэнфордском университете, Политехнической школе в Париже и Королевском технологическом институте в Стокгольме.

Исследования по математике

В математике функциональный анализ изучает векторные пространства и действующие на них операторы. Исторически он возник из изучения функциональных пространств, в частности преобразований функций, таких как преобразование Фурье, а также из изучения дифференциальных и интегральных уравнений. В функциональном анализе важный класс векторных пространств составляют полные нормированные векторные пространства над полем вещественных или комплексных чисел, называемые банаховыми пространствами. Важным примером банахова пространства является гильбертово пространство, где норма порождается скалярным произведением. Гильбертовы пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики, стохастические процессы и анализ временных рядов. Помимо изучения пространств функций, функциональный анализ также изучает непрерывные линейные операторы на пространствах функций.

Пятая проблема Гильберта и вложения

В Стокгольмском университете Ханс Родстрём предложил Энфло рассмотреть пятую проблему Гильберта с точки зрения функционального анализа. В 1969—1970 годах Энфло опубликовал пять статей по пятой проблеме Гильберта; эти статьи собраны в работе Энфло (1970) вместе с кратким резюме. Некоторые результаты этих статей описаны в работе Энфло (1976) и в последней главе книги Беньямини и Линденштраусса.

Применения в информатике

Методы Энфло нашли применение в информатике. Теоретики алгоритмов разрабатывают приближённые алгоритмы, которые вкладывают конечные метрические пространства в маломерные евклидовы пространства с малым «искажением» (в терминологии Громова для липшицевой категории). Маломерные задачи имеют меньшую вычислительная сложность, если они хорошо вкладываются в евклидову плоскость или трёхмерное евклидово пространство, то геометрические алгоритмы становятся исключительно быстрыми.

Однако такие методы вложения имеют ограничения, как показывает теорема Энфло (1969):

Для каждого $m\geq 2$ куб Хэмминга $C_{m}$ не может быть вложен с «искажением $D$» (или меньше) в $2^{m}$-мерное евклидово пространство, если $D<{\sqrt {m}}$. Следовательно, оптимальным вложением является естественное вложение, которое реализует $\{0,1\}^{m}$ как подпространство $m$-мерного евклидова пространства.

Эта теорема, «найденная Энфло [1969], вероятно, является первым результатом, показывающим неограниченное искажение для вложений в евклидовы пространства. Энфло рассматривал проблему равномерной вложимости среди банаховых пространств, и искажение было вспомогательным средством в его доказательстве».

Геометрия банаховых пространств

Равномерно выпуклое пространство — это банахово пространство, в котором для каждого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любых двух векторов с $\|x\|\leq 1$ и $\|y\|\leq 1,$

$\|x+y\|>2-\delta$

подразумевает, что

$\|x-y\|<\epsilon .$

Интуитивно, центр отрезка внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только отрезок не короткий.

В 1972 году Энфло доказал, что «каждое суперрефлексивное банахово пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму».

Проблема базиса и гусь Мазура

В статье, опубликованной в 1973 году, Пер Энфло решил три проблемы, которые десятилетиями ставили в тупик специалистов по функциональному анализу: проблему базиса Стефана Банаха, «проблему гуся» Станислава Мазура и проблему аппроксимации Александра Гротендика. Гротендик показал, что его проблема аппроксимации была центральной проблемой в теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов.

Проблема базиса Банаха

Проблема базиса была поставлена Стефаном Банахом в его книге «Теория линейных операторов». Банах спрашивал, каждое ли сепарабельное банахово пространство имеет базис Шаудера.

Базис Шаудера или счётный базис похож на обычный (Гамеля) базис векторного пространства; разница в том, что для базисов Гамеля используются линейные комбинации, которые являются конечными суммами, тогда как для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховые пространства.

Базисы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 году. Пусть V обозначает банахово пространство над полем F. Базис Шаудера — это последовательность (b_n) элементов V такая, что для каждого элемента v ∈ V существует единственная последовательность (α_n) элементов в F такая, что

$v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha _{n}b_{n}\,$

где сходимость понимается по отношению к топологии нормы. Базисы Шаудера также могут быть определены аналогично в общем топологическом векторном пространстве.

Проблема 153 в Шотландской книге: гусь Мазура

Файл:MazurGes.jpg

В 1972 году Станислав Мазур вручил Энфло обещанного живого гуся за решение проблемы в Шотландской книге.

Банах и другие польские математики работали над математическими проблемами в Шотландском кафе. Когда проблема была особенно интересной и её решение казалось трудным, она записывалась в книгу проблем, которая вскоре стала известна как Шотландская книга. Для проблем, которые казались особенно важными или трудными, автор проблемы часто обещал награду за её решение.

6 ноября 1936 года Станислав Мазур поставил проблему о представлении непрерывных функций. Формально записав проблему 153 в Шотландской книге, Мазур пообещал в качестве награды «живого гуся», что было особенно ценным призом во время Великой депрессии и накануне Второй мировой войны.

Вскоре стало ясно, что проблема Мазура тесно связана с проблемой Банаха о существовании базисов Шаудера в сепарабельных банаховых пространствах. Большинство других проблем в Шотландской книге решались регулярно. Однако по проблеме Мазура и нескольким другим проблемам, которые стали известными открытыми проблемами для математиков всего мира, прогресса почти не было.

Формулировка проблемы аппроксимации Гротендиком

Работа Гротендика по теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов ввела свойство аппроксимации. Говорят, что банахово пространство обладает свойством аппроксимации, если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга. Обратное всегда верно.

В большой монографии Гротендик доказал, что если бы каждое банахово пространство обладало свойством аппроксимации, то каждое банахово пространство имело бы базис Шаудера. Таким образом, Гротендик сосредоточил внимание специалистов по функциональному анализу на решении вопроса о том, обладает ли каждое банахово пространство свойством аппроксимации.

Решение Энфло

В 1972 году Пер Энфло построил сепарабельное банахово пространство, которое не обладает свойством аппроксимации и базисом Шаудера. В 1972 году Мазур вручил живого гуся Энфло на церемонии в Центре Стефана Банаха в Варшаве; церемония «награждения гусём» транслировалась по всей Польше.

Проблема инвариантного подпространства и многочлены

В функциональном анализе одной из самых известных проблем была проблема инвариантного подпространства, которая требовала оценки истинности следующего утверждения:

Пусть задано комплексное банахово пространство H размерности > 1 и ограниченный линейный оператор T : H → H, тогда H имеет нетривиальное замкнутое T-инвариантное подпространство, то есть существует замкнутое линейное подпространство W пространства H, отличное от {0} и H, такое, что T(W) ⊆ W.

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Энфло. (Для гильбертовых пространств проблема инвариантного подпространства остаётся открытой.)

Энфло предложил решение проблемы инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав набросок в 1976 году. Энфло представил полную статью в 1981 году, и сложность и объём статьи задержали её публикацию до 1987 года. Длинная «рукопись Энфло имела распространение среди математиков», и некоторые из её идей были описаны в публикациях помимо Энфло (1976). Работы Энфло вдохновили на аналогичное построение оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло.

В 1990-х годах Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантного подпространства в гильбертовых пространствах.

Мультипликативные неравенства для однородных многочленов

Существенной идеей в конструкции Энфло была «концентрация многочленов при малых степенях»: Для всех натуральных чисел $m$ и $n$ существует $C(m,n)>0$ такое, что для всех однородных многочленов $P$ и $Q$ степеней $m$ и $n$ (от $k$ переменных) выполняется

$|PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,$

где $|P|$ обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов $P$. Энфло доказал, что $C(m,n)$ не зависит от числа переменных $k$. Оригинальное доказательство Энфло было упрощено Монтгомери.

Этот результат был обобщён на другие нормы в векторном пространстве однородных многочленов. Из этих норм наиболее используемой стала норма Бомбьери.

Норма Бомбьери

Норма Бомбьери определяется через следующее скалярное произведение: Для всех $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}$ имеем

$\langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0$ если $\alpha \neq \beta$

Для каждого $\alpha \in \mathbb {N} ^{N}$ мы определяем $\Vert X^{\alpha }\Vert ^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},$

где мы используем следующие обозначения: если $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}$, мы пишем $|\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}$ и $\alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)$ и $X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.$

Наиболее примечательным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

Пусть $P,Q$ — два однородных многочлена соответственно степени $d^{\circ }(P)$ и $d^{\circ }(Q)$ от $N$ переменных, тогда выполняется следующее неравенство:

${\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}\Vert P\Vert ^{2}\,\Vert Q\Vert ^{2}\leq \Vert P\cdot Q\Vert ^{2}\leq \Vert P\Vert ^{2}\,\Vert Q\Vert ^{2}.$

Неравенство Бомбьери — это неравенство в левой части; неравенство в правой части означает, что норма Бомбьери является нормой алгебры многочленов относительно умножения.

Неравенство Бомбьери означает, что произведение двух многочленов не может быть сколь угодно малым, и эта нижняя граница имеет фундаментальное значение в таких приложениях, как факторизация многочленов (или в конструкции Энфло оператора без инвариантного подпространства).

Применения

Идея Энфло о «концентрации многочленов при малых степенях» привела к важным публикациям в теории чисел, алгебраической и диофантовой геометрии и факторизации многочленов.

Исследования по математической биологии

В прикладной математике Пер Энфло опубликовал несколько статей по математической биологии, в частности по динамике популяций.

Эволюция человека

Энфло также публиковался в области популяционной генетики и палеоантропологии.

В настоящее время все люди принадлежат к одной популяции Homo sapiens sapiens, которая не разделена видовым барьером. Однако, согласно модели «Из Африки», это не первый вид гоминид: первый вид рода Homo, Homo habilis, эволюционировал в Восточной Африке по крайней мере 2 млн лет назад, и представители этого вида заселили разные части Африки за относительно короткое время. Homo erectus эволюционировал более 1,8 млн лет назад и к 1,5 млн лет назад распространился по всему Старому Свету.

Антропологи разделились во мнениях относительно того, эволюционировала ли современная человеческая популяция как одна взаимосвязанная популяция (как постулирует гипотеза мультирегиональной эволюции), или эволюционировала только в Восточной Африке, где они образовали вид, а затем мигрировали из Африки, вытеснив человеческие популяции в Евразии (модель «Из Африки» или модель «Полного замещения»).

Неандертальцы и современные люди сосуществовали в Европе в течение нескольких тысяч лет, но продолжительность этого периода неопределённа. Современные люди могли впервые мигрировать в Европу 40—43 000 лет назад. Неандертальцы могли жить ещё 24 000 лет назад в рефугиумах на южном побережье Пиренейского полуострова, таких как пещера Горхама. Предполагалось чередование останков неандертальцев и современных людей, но это оспаривается.

Вместе с Хоуксом и Волпоффом Энфло опубликовал объяснение ископаемых свидетельств по ДНК неандертальцев и современных людей. Эта статья пытается разрешить спор в эволюции современных людей между теориями, предполагающими либо мультирегиональное, либо единое африканское происхождение. В частности, вымирание неандертальцев могло произойти из-за волн современных людей, проникших в Европу — в технических терминах, из-за «непрерывного притока ДНК современного человека в генофонд неандертальцев».

Энфло также писал о динамике популяции речной дрейссены в озере Эри.

Музыкальная карьера

Файл:Stockholm Konserthuset 2002.jpg

Пианист Пер Энфло дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году.

Пер Энфло также является концертным пианистом.

Будучи вундеркиндом в музыке и математике, Энфло выиграл шведский конкурс молодых пианистов в возрасте 11 лет в 1956 году, и он выиграл тот же конкурс в 1961 году. В возрасте 12 лет Энфло выступил в качестве солиста с оркестром Королевской оперы Швеции. Он дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году. Среди учителей Энфло были Бруно Зайдльхофер, Геза Анда и Готфрид Бун (который сам был учеником Артура Шнабеля).

В 1999 году Энфло участвовал в первом ежегодном Международном конкурсе пианистов Фонда Вана Клиберна для выдающихся любителей.

Энфло регулярно выступает в районе Кента и в серии концертов Моцарта в Колумбусе (с оркестром Triune Festival). Его сольные фортепианные концерты транслировались в сети Classics Network радиостанции WOSU, которая спонсируется Университетом штата Огайо.

Примечания

• «Recipients of 2005 Distinguished Scholar Award at Kent State University Announced», eInside, 2005-4-11. Retrieved on February 4, 2007.

Литература

• Enflo, Per. (1970) Investigations on Hilbert’s fifth problem for non locally compact groups (Stockholm University). Enflo’s thesis contains reprints of exactly five papers:

(1969a) «Topological groups in which multiplication on one side is differentiable or linear». Math. Scand. 24: 195–197. DOI:10.7146/math.scand.a-10930. Per Enflo (1969). «On the nonexistence of uniform homeomorphisms between L_p spaces». Ark. Mat. 8 (2): 103–5. DOI:10.1007/BF02589549. . (1969b) «On a problem of Smirnov». Ark. Mat. 8 (2): 107–109. DOI:10.1007/bf02589550. . (1970a) «Uniform structures and square roots in topological groups I». Israel Journal of Mathematics 8 (3): 230–252. DOI:10.1007/BF02771560. (1970b) «Uniform structures and square roots in topological groups II». Israel Journal of Mathematics 8 (3): 253–272. DOI:10.1007/BF02771561. * Enflo, Per. 1976. Uniform homeomorphisms between Banach spaces. Séminaire Maurey-Schwartz (1975—1976), Espaces, $L^{p}$, applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. No. 18, 7 pp. Centre Math., École Polytech., Palaiseau. Шаблон:MR (57 #17222) [Highlights of papers on Hilbert’s fifth problem and on independent results of Martin Ribe, another student of Hans Rådström]

• Enflo, Per (1972). «Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm». Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. DOI:10.1007/BF02762802.
• Enflo, Per (1973). «A counterexample to the approximation problem in Banach spaces». Acta Mathematica 130: 309–317. DOI:10.1007/BF02392270.
• Enflo Per On the invariant subspace problem in Banach spaces // Séminaire Maurey--Schwartz (1975--1976) Espaces L^p, applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Nos. 14–15. — Centre Math., École Polytech., Palaiseau, 1976. — P. 1–7.
• (1987) «On the invariant subspace problem for Banach spaces». Acta Mathematica 158 (3): 213–313. DOI:10.1007/BF02392260. ISSN 0001-5962.
• (1990) «Products of polynomials in many variables». Journal of Number Theory 36 (2): 219–245. DOI:10.1016/0022-314X(90)90075-3.
• (October 1994) «Quantitative Estimates for Polynomials in One or Several Variables: From Analysis and Number Theory to Symbolic and Massively Parallel Computation». Mathematics Magazine 67 (4): 243–257. (accessible to readers with undergraduate mathematics)
• P. Enflo, John D. Hawks, M. Wolpoff. «A simple reason why Neanderthal ancestry can be consistent with current DNA information». American Journal Physical Anthropology, 2001
• Enflo Per, Lomonosov Victor Some aspects of the invariant subspace problem // Handbook of the geometry of Banach spaces. — Amsterdam: North-Holland, 2001. — Т. I. — P. 533–559.
• Bartle, R. G. (1977). «Review of Per Enflo's "A counterexample to the approximation problem in Banach spaces" Acta Mathematica 130 (1973), 309–317». Mathematical Reviews 130: 309–317. DOI:10.1007/BF02392270.
• Introduction to Banach Spaces and their Geometry. — Second revised. — North-Holland, 1985. — ISBN 0-444-86416-4.
• Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces. — North Holland, 1988. — ISBN 0-444-70521-X.
• Heights in Diophantine Geometry. — Cambridge U. P., 2006. — ISBN 0-521-84615-3.
• Roger B. Eggleton (1984). «Review of Mauldin's The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café». Mathematical Reviews.
• Grothendieck, A.: Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. Memo. Amer. Math. Soc. 16 (1955).
• Halmos, Paul R. (1978). «Schauder bases». American Mathematical Monthly 85 (4): 256–257. DOI:10.2307/2321165.
• Paul R. Halmos, «Has progress in mathematics slowed down?» Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 7, 561—588. Шаблон:MR
• William B. Johnson «Complementably universal separable Banach spaces» in Robert G. Bartle (ed.), 1980 Studies in functional analysis, Mathematical Association of America.
• Kałuża Roman Through a Reporter's Eyes: The Life of Stefan Banach / Ann Kostant and Wojbor Woyczyński. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 0-8176-3772-9.
• 4.6.2 Factorization of Polynomials // Seminumerical Algorithms. — Third. — Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1997. — Т. 2. — P. 439–461, 678–691. — ISBN 0-201-89684-2.
• Kwapień, S. «On Enflo’s example of a Banach space without the approximation property». Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972—1973: Équations aux dérivées partielles et analyse fonctionnelle, Exp. No. 8, 9 pp. Centre de Math., École Polytech., Paris, 1973. Шаблон:MR
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.
• Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I, Sequence spaces, 1977. Springer-Verlag.
• Matoušek Jiří Lectures on Discrete Geometry. — Springer-Verlag, 2002. — ISBN 978-0-387-95373-1..
• The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café (Including selected papers presented at the Scottish Book Conference held at North Texas State University, Denton, Tex., May 1979) / R. Daniel Mauldin. — Boston, Mass.: Birkhäuser, 1981. — P. xiii+268 pp. (2 plates). — ISBN 3-7643-3045-7.
• (1973) «P. Enflo solved in the negative Banach's problem on the existence of a basis for every separable Banach space». Fiz.-Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk. 16 (49): 134–138.
• Pietsch Albrecht History of Banach spaces and linear operators]. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 2007. — P. xxiv+855 pp. — ISBN 978-0-8176-4367-6.
• Pisier, Gilles (1975). «Martingales with values in uniformly convex spaces». Israel Journal of Mathematics 20 (3–4): 326–350. DOI:10.1007/BF02760337.
• Karen Saxe, Beginning Functional Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, 2002 Springer-Verlag, New York. (Pages 122—123 sketch a biography of Per Enflo.)
• Schmidt, Wolfgang M. (1980 [1996 with minor corrections]) Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer.
• Singer, Ivan. Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981. viii+880 pp. ISBN 3-540-10394-5. Шаблон:MR
• (2005) «The present state and heritages of the invariant subspace problem». Milan Journal of Mathematics 73: 289–316. DOI:10.1007/s00032-005-0048-7. ISSN 1424-9286.

Ссылки

• Biography of Per Enflo
• Homepage of Per Enflo
• Enflo, Per Personal notes, in my own words. perenflo.com (25 April 2011). Архивировано из первоисточника 26 апреля 2012. Проверено 13 декабря 2011.
• Энфло, Перангл. в проекте «Математическая генеалогия»

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Энфло, Пер», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Энфло,_Пер Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».