Длина дуги эвольвенты окружности

Эвольвента окружности

Длина дуги эвольвенты окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги эвольвенты окружности в единицах измерения длины.

Эвольвента окружности — это линия, исходящая из начальной точки M₀ на окружности, описываемая точкой M (против часовой стрелки), лежащей (справа) на касательной к окружности в точке L и отстоящей от этой точки L на длину дуги окружности M₀L от начальной точки до этой точки.

Рассмотрим дуги эвольвенты окружности, исходящей из точки (R, 0).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр первой точки дуги;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности;

M = (x, y) — точка эвольвенты;

L — точка окружности;

M₀ = (R, 0) — начальная точка эвольвенты;

t — параметрическая переменная;

x = R(cost + tsint) — параметрическое уравнение абсциссы эвольвенты окружности;

y = R(sint − tcost) — параметрическое уравнение ординаты эвольвенты окружности;

L_{дуг.эвол} — длина дуги эвольвенты окружности.

Формула

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.эвол}=\frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \lt \infty }[/math]

• Заметим, что длина дуги эвольвенты окружности M₀M от начальной точки равна L_t = Rt²/2.

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.эвол}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(x'_t(t)\right)^2+\left(y'_t(t)\right)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\left(R\cos t+Rt\sin t\right)'_t\right]^2+\left[\left(R\sin t-Rt\cos t\right)'_t\right]^2}dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(Rt\cos t\right)^2+\left(Rt\sin t\right)^2}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{t^2\cos^2t+t^2\sin^2t}dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ =R\int\limits_{t_1}^{t_2}tdt = \left.\frac{1}{2}Rt^2\right|_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right) \Rightarrow L_\text{дуг.эвол}=\frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right) }[/math]

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически, причём 0 < t₁ < t₂.

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.783.