Длина дуги эвольвенты окружности
Длина дуги эвольвенты окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги эвольвенты окружности в единицах измерения длины.
Эвольвента окружности — это линия, исходящая из начальной точки M0 на окружности, описываемая точкой M (против часовой стрелки), лежащей (справа) на касательной к окружности в точке L и отстоящей от этой точки L на длину дуги окружности M0L от начальной точки до этой точки.
Рассмотрим дуги эвольвенты окружности, исходящей из точки (R, 0).
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
t1 — параметр первой точки дуги;
x2 — абсцисса (большая) второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
t2 — параметр второй точки дуги;
R — радиус окружности;
M = (x, y) — точка эвольвенты;
L — точка окружности;
M0 = (R, 0) — начальная точка эвольвенты;
t — параметрическая переменная;
x = R(cost + tsint) — параметрическое уравнение абсциссы эвольвенты окружности;
y = R(sint − tcost) — параметрическое уравнение ординаты эвольвенты окружности;
Lдуг.эвол — длина дуги эвольвенты окружности.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.эвол}=\frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \lt \infty }[/math]
- Заметим, что длина дуги эвольвенты окружности M0M от начальной точки равна Lt = Rt2/2.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.эвол}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(x'_t(t)\right)^2+\left(y'_t(t)\right)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\left(R\cos t+Rt\sin t\right)'_t\right]^2+\left[\left(R\sin t-Rt\cos t\right)'_t\right]^2}dt= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(Rt\cos t\right)^2+\left(Rt\sin t\right)^2}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{t^2\cos^2t+t^2\sin^2t}dt= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =R\int\limits_{t_1}^{t_2}tdt = \left.\frac{1}{2}Rt^2\right|_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right) \Rightarrow L_\text{дуг.эвол}=\frac{1}{2}R\left(t_2^2-t_1^2\right) }[/math]
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически, причём 0 < t1 < t2.
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.
Литература[править]
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.783.