Объём шара

Шар

17. Стереометрия на ЕГЭ по математике. Объем шара // Анна Малкова [2:47]

Объем шара // KhanAcademyRussian [6:01]

Объём шара — число, характеризующее шар в единицах измерения объёма.

Обозначения[править]

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

V_шар — объём шара.

V_{\text{шар}}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\Leftrightarrow V_{\text{шар}}={\frac {1}{3}}RS_{\text{шар}},\ S_{\text{шар}}=4\pi R^{2}\Leftrightarrow V_{\text{шар}}={\frac {1}{6}}\pi D^{3},\ D=2R

V_{\text{шар}}=\pi \int \limits _{-R}^{R}\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)^{2}dx=2\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=2pi\left.\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{R}=

=2\pi R^{3}-{\frac {2}{3}}\pi R^{3}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\Rightarrow V_{\text{шар}}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}

Для вывода используется формула «объём трёхмерной фигуры» в сферических координатах.