VIDEO
30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]
Объём шарового сегмента — часть объёма шара , ограниченная сегментом сферы и основанием сегмента. Вычисляется по формуле:
V = πh²(3R − h)/3 (R — радиус шара, h — высота шарового сегмента , π — число Пи ).
R
{\displaystyle R}
r
{\displaystyle r}
h
{\displaystyle h}
α
{\displaystyle \alpha }
S
осн
{\displaystyle S_{\text{осн}}}
S
бок
{\displaystyle S_{\text{бок}}}
V
сегм
{\displaystyle V_{\text{сегм}}}
V
сегм
=
π
R
h
2
−
1
3
π
h
3
⇔
{\displaystyle V_{\text{сегм}}=\pi Rh^{2}-{\frac {1}{3}}\pi h^{3}\Leftrightarrow }
⇔
V
сегм
=
1
3
π
h
2
(
3
R
−
h
)
,
R
=
h
2
+
r
2
2
h
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h),\ R={\frac {h^{2}+r^{2}}{2h}}\Leftrightarrow }
⇔
V
сегм
=
1
6
π
h
(
h
2
+
3
r
2
)
,
r
=
2
R
h
−
h
2
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{6}}\pi h(h^{2}+3r^{2}),\ r={\sqrt {2Rh-h^{2}}}\Leftrightarrow }
⇔
V
сегм
=
1
3
π
h
(
3
R
h
−
h
2
)
,
h
=
2
R
h
−
r
2
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h(3Rh-h^{2}),\ h={\sqrt {2Rh-r^{2}}}\Leftrightarrow }
⇔
V
сегм
=
1
3
π
h
(
R
h
+
r
2
)
,
h
=
R
−
s
i
g
n
(
R
−
h
)
⋅
R
2
−
r
2
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h(Rh+r^{2}),\ h=R-sign(R-h)\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\Leftrightarrow }
⇔
V
сегм
=
1
3
π
R
3
(
2
−
3
cos
α
+
cos
3
α
)
,
h
=
R
(
1
−
cos
α
)
,
r
=
R
sin
α
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi R^{3}(2-3\cos \alpha +\cos ^{3}\alpha ),\ h=R(1-\cos \alpha ),r=R\sin \alpha }
Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сегмент превращается в шар. Соответственно, формула объёма сегмента с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара . Вывод формулы [ править ]
V
сегм
=
π
∫
R
−
h
R
(
R
2
−
x
2
)
2
d
x
=
π
∫
R
−
h
R
(
R
2
−
x
2
)
d
x
=
π
(
R
2
x
−
x
3
3
)
|
R
−
h
R
=
{\displaystyle V_{\text{сегм}}=\pi \int \limits _{R-h}^{R}\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)^{2}dx=\pi \int \limits _{R-h}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \left.\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right|_{R-h}^{R}=}
=
π
[
R
2
h
−
1
3
R
3
+
1
3
(
R
−
h
)
3
]
=
π
(
R
h
2
−
1
3
h
3
)
=
1
3
π
h
2
(
3
R
−
h
)
⇒
{\displaystyle =\pi \left[R^{2}h-{\frac {1}{3}}R^{3}+{\frac {1}{3}}(R-h)^{3}\right]=\pi \left(Rh^{2}-{\frac {1}{3}}h^{3}\right)={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h)\Rightarrow }
⇒
V
сегм
=
1
3
π
h
2
(
3
R
−
h
)
{\displaystyle \Rightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h)}
Другие формулы [ править ]
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.
30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]
![{\displaystyle =\pi \left[R^{2}h-{\frac {1}{3}}R^{3}+{\frac {1}{3}}(R-h)^{3}\right]=\pi \left(Rh^{2}-{\frac {1}{3}}h^{3}\right)={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h)\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45ea7f4a29ce84c97c3b3d2173d47ef381ecafc)
