Объём шарового сегмента

Шаровой сегмент

30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]

Формулы

Объём шарового сегмента — часть объёма шара, ограниченная сегментом сферы и основанием сегмента. Вычисляется по формуле:

V = πh²(3R − h)/3

(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).

Обозначения

$R$ — радиус шара;

$r$ — радиус основания шарового сегмента;

$h$ — высота шарового сегмента;

$\alpha$ — центральный угол шарового сегмента;

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{\text{осн}}}  — площадь основания шарового сегмента;

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{\text{бок}}}  — площадь боковой поверхности шарового сегмента;

$V_{\text{сегм}}$ — объём шарового сегмента.

Формула

$V_{\text{сегм}}=\pi Rh^{2}-{\frac {1}{3}}\pi h^{3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h),\ R={\frac {h^{2}+r^{2}}{2h}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{6}}\pi h(h^{2}+3r^{2}),\ r={\sqrt {2Rh-h^{2}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h(3Rh-h^{2}),\ h={\sqrt {2Rh-r^{2}}}\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h(Rh+r^{2}),\ h=R-sign(R-h)\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi R^{3}(2-3\cos \alpha +\cos ^{3}\alpha ),\ h=R(1-\cos \alpha ),r=R\sin \alpha$

• Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сегмент превращается в шар. Соответственно, формула объёма сегмента с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.

Вывод формулы

$V_{\text{сегм}}=\pi \int \limits _{R-h}^{R}\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)^{2}dx=\pi \int \limits _{R-h}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \left.\left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right)\right|_{R-h}^{R}=$

$=\pi \left[R^{2}h-{\frac {1}{3}}R^{3}+{\frac {1}{3}}(R-h)^{3}\right]=\pi \left(Rh^{2}-{\frac {1}{3}}h^{3}\right)={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h)\Rightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Rightarrow V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h)}

См. также

• Площадь поверхности шарового сегмента

Другие формулы

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. параболоидное копыто;
18. шаровая бочка;
19. круговая бочка;
20. параболическая бочка;
21. сегментное кольцо;
22. тор;
23. кокон;
24. купол;
25. сфероид;
26. параболоид вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.