Объём тора

Тор

Объём тора — число, характеризующее объём, ограниченный тором, в единицах измерения объёма.

Тор — поверхность вращения образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через её центр.

Обозначения

R — радиус окружности вращения образующей окружности тора;

r — радиус образующей окружности тора;

R₂ — внешний радиус тора;

R₁ — внутренний радиус тора;

D — диаметр окружности вращения образующей окружности тора;

d — диаметр образующей окружности тора;

D₂ — внешний диаметр тора;

D₁ — внутренний диаметр тора;

S_тор — площадь тора;

V_тор — объём тора.

Формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_\text{тор}=2\pi^2Rr^2 \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{2}rS_\text{тор},\ S_\text{тор}=4\pi^2Rr\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{4}\pi^2Dd^2,\ D=2R,\ d=2r\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow V_\text{тор}=\pi^2(R_1+R_2)r^2,\ R=\frac{R_1+R_2}{2}\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{8}\pi^2(D_1+D_2)d^2,\ D=\frac{D_1+D_2}{2}}

Вывод формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_\text{тор}=\pi\int\limits_{-r}^r\left[\left(R+\sqrt{r^2-x^2}\right)^2-\left(R-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\right]dx=\pi\int\limits_{-r}^r 4R\sqrt{r^2-x^2}dx=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =8\pi R\int\limits_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\left.4\pi R\left(x\sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin\frac{x}{r}\right) \right|_0^r=4\pi Rr^2\arcsin 1=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =4\pi Rr^2\frac{\pi}{2}=2\pi^2Rr^2\Rightarrow V_\text{тор}=2\pi^2Rr^2}

Использовано, что:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right)+C}

См. также

• Площадь тора

Другие формулы

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. параболоидное копыто;
18. шаровая бочка;
19. круговая бочка;
20. параболическая бочка;
21. сегментное кольцо;
22. тор;
23. кокон;
24. купол;
25. сфероид;
26. параболоид вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.178.