Объём шарового сектора

Шаровой сектор

30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]

Объём шарового сектора — это часть объёма шара, ограниченная конусом и сегментом сферы. Вычисляется по формуле:

V = 2πR²h/3

(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).

Обозначения

$R$ — радиус шара и образующая конуса;

$r$ — радиус основания шарового сегмента;

$h$ — высота шарового сегмента;

$\alpha$ — центральный угол шарового сектора;

$V_{\text{кон}}$ — объём конуса;

$V_{\text{сегм}}$ — объём шарового сегмента;

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle V_{\text{сект}}}  — объём шарового сектора.

Формула

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle V_{\text{сект}}={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h,\ R={\frac {h^{2}+r^{2}}{2h}}\Leftrightarrow V_{\text{сект}}={\frac {\pi }{6h}}\left(h^{2}+r^{2}\right)^{2},\ r={\sqrt {2Rh-h^{2}}}\Leftrightarrow }

$\Leftrightarrow V_{\text{сект}}={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h,\ h=R-sign(R-h)\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\Leftrightarrow$

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{сект}}=V_{\text{сегм}}+sign(R-h)\cdot V_{\text{кон}},\ V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h),\ V_{\text{кон}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}|R-h|}

• Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сектор превращается в шар. Соответственно, формула объёма сектора с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.

Вывод формулы

См. также

• Площадь поверхности шарового сектора

Другие формулы

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. параболоидное копыто;
18. шаровая бочка;
19. круговая бочка;
20. параболическая бочка;
21. сегментное кольцо;
22. тор;
23. кокон;
24. купол;
25. сфероид;
26. параболоид вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.

Ссылки

• Участник:Logic-samara