Ряд (математика)
Ряд — бесконечная последовательность слагаемых или бесконечная сумма членов последовательности.
Слагаемые ряда an называются членами ряда.
Общая информация[править]
Предположим, что у нас есть бесконечная последовательность следующих (обычно, вещественных) чисел: , ,.. ,… Тогда можно определить следующее выражение: ……=. Этот символ называется числовым рядом.
Числовой ряд — символ, составленный из членов бесконечной числовой последовательности, соединённых формальным символом «+».
Если сложить k первых членов последовательности ряда, то полученное число будет называться частичной суммы k членов данного ряда.
Числовую последовательность можно задать не только перечислением членов этой последовательности, но и общей формулой, по которой можно получить член этой последовательности по его номеру n. В этом случае эта формула называется общим членом ряда и записывается перед заглавной греческой буквой «сигма», математическим знаком суммирования, сверху и снизу которой ставятся пределы суммирования.
Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:
Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.
Сумма первых n членов называется частичной суммой Sn.
Сходимость ряда[править]
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм — этот предел называется суммой ряда (говорят также, что «ряд сходится»).
В противном случае ряд называется расходящимся (говорят, что «ряд расходится»).
Признаки сходимости:
- необходимый признак;
- признак сравнения;
- признак Даламбера;
- радикальный признак Коши;
- интегральный признак Коши;
- признак Раабе;
- признак Лейбница.
Необходимый признак используется для определения расходимости ряда .
Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда .
Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда при условии .
Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда при условии .
Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда при условии существования интегрируемой функции .
Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда .
Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда .
Литература[править]
- Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.
Виды функциональных рядов[править]