Ряд (математика)

Числовые ряды. Основные понятия // bezbotvy [3:21]

Числовые ряды-1. Основные понятия [34:09]

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 99-100. Числовые ряды (1973) [1:12:12]

Ряд — бесконечная последовательность слагаемых или бесконечная сумма членов последовательности.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n+a_{n+1}+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n}

Слагаемые ряда a_n называются членами ряда.

Общая информация

Предположим, что у нас есть бесконечная последовательность следующих (обычно, вещественных) чисел: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ a_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ a_2} ,.. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ a_n} ,… Тогда можно определить следующее выражение: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ a_1 +a_2+} …Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ +a_n+} …=Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{i=1}^\infty a_i} . Этот символ называется числовым рядом.

Числовой ряд — символ, составленный из членов бесконечной числовой последовательности, соединённых формальным символом «+».

Если сложить k первых членов последовательности ряда, то полученное число будет называться частичной суммы k членов данного ряда.

Числовую последовательность можно задать не только перечислением членов этой последовательности, но и общей формулой, по которой можно получить член этой последовательности по его номеру n. В этом случае эта формула называется общим членом ряда и записывается перед заглавной греческой буквой «сигма», математическим знаком суммирования, сверху и снизу которой ставятся пределы суммирования.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=b_1-b_2+\ldots+(-1)^{n-1}b_n+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n}

Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Сумма первых n членов называется частичной суммой S_n.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n \Leftrightarrow S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i}

Сходимость ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм — этот предел называется суммой ряда (говорят также, что «ряд сходится»).

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=S}

В противном случае ряд называется расходящимся (говорят, что «ряд расходится»).

Признаки сходимости:

• необходимый признак;
• признак сравнения;
• признак Даламбера;
• радикальный признак Коши;
• интегральный признак Коши;
• признак Раабе;
• признак Лейбница.

Необходимый признак используется для определения расходимости ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n} .

Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n} или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n} .

Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n} при условии Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ne 1} .

Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n} при условии Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}\ne 1} .

Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n} при условии существования интегрируемой функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(n)=a_n} .

Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n} .

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n} .

Литература

• Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.

Виды функциональных рядов

• Числовой ряд;
• Ряд Маклорена;
• Ряд Тейлора;
• Ряд Тейлора комплексный;
• Ряд Лорана;
• Ряд Фурье;
• Ряд Фурье комплексный.

Другие понятия

• число;
• формулы;
• неравенства;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.