Объём шарового сектора

Шаровой сектор

30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]

Объём шарового сектора — это часть объёма шара, ограниченная конусом и сегментом сферы.

Вычисляется по формуле:

V = 2πR²h/3

(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).

Обозначения[править]

R

— радиус шара и образующая конуса;

r

— радиус основания шарового сегмента;

h

— высота шарового сегмента;

\alpha

— центральный угол шарового сектора;

V_{\text{кон}}

V_{\text{сегм}}

V_{\text{сект}}

— объём шарового сектора.

V_{\text{сект}}={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h,\ R={\frac {h^{2}+r^{2}}{2h}}\Leftrightarrow V_{\text{сект}}={\frac {\pi }{6h}}\left(h^{2}+r^{2}\right)^{2},\ r={\sqrt {2Rh-h^{2}}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow V_{\text{сект}}={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h,\ h=R-sign(R-h)\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow V_{\text{сект}}=V_{\text{сегм}}+sign(R-h)\cdot V_{\text{кон}},\ V_{\text{сегм}}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3R-h),\ V_{\text{кон}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}|R-h|

Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сектор превращается в шар. Соответственно, формула объёма сектора с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.