Ряд (математика)

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Ряд»)
Перейти к: навигация, поиск
Числовые ряды. Основные понятия // bezbotvy [3:21]
Числовые ряды-1. Основные понятия [34:09]
Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 99-100. Числовые ряды (1973) [1:12:12]

Ряд — это бесконечная последовательность слагаемых или бесконечная сумма членов последовательности.

[math]S=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n+a_{n+1}+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math]

Слагаемые ряда an называются членами ряда.

Содержание

[править] Общая информация

Предположим, что у нас есть бесконечная последовательность следующих (обычно, вещественных) чисел: [math]\ a_1[/math], [math]\ a_2[/math],.. [math]\ a_n[/math],… Тогда можно определить следующее выражение: [math]\ a_1 +a_2+[/math][math]\ +a_n+[/math]…=[math]\sum_{i=1}^\infty a_i[/math]. Этот символ называется числовым рядом.

Числовой ряд — символ, составленный из членов бесконечной числовой последовательности, соединённых формальным символом «+».

Если сложить k первых членов последовательности ряда, то полученное число будет называться частичной суммы k членов данного ряда.

Числовую последовательность можно задать не только перечислением членов этой последовательности, но и общей формулой, по которой можно получить член этой последовательности по его номеру n. В этом случае эта формула называется общим членом ряда и записывается перед заглавной греческой буквой «сигма», математическим знаком суммирования, сверху и снизу которой ставятся пределы суммирования.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:

[math]S=b_1-b_2+\ldots+(-1)^{n-1}b_n+\ldots \Leftrightarrow S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n[/math]

Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Сумма первых n членов называется частичной суммой Sn.

[math]S_n=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n \Leftrightarrow S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i[/math]

[править] Сходимость ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм — этот предел называется суммой ряда (говорят также, что «ряд сходится»).

[math]\lim_{n \to \infty}S_n=S[/math]

В противном случае ряд называется расходящимся (говорят, что «ряд расходится»).

Признаки сходимости:

Необходимый признак используется для определения расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math].

Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/math].

Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] при условии [math]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ne 1[/math].

Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] при условии [math]\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}\ne 1[/math].

Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math] при условии существования интегрируемой функции [math]f(n)=a_n[/math].

Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n[/math].

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n[/math].

[править] Виды функциональных рядов

[править] Другие понятия

[править] Литература

  • Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты