Ряд (математика)

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Ряд»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Числовые ряды. Основные понятия // bezbotvy [3:21]
Числовые ряды-1. Основные понятия [34:09]
Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 99-100. Числовые ряды (1973) [1:12:12]

Ряд — бесконечная последовательность слагаемых или бесконечная сумма членов последовательности.

Слагаемые ряда an называются членами ряда.

Общая информация[править]

Предположим, что у нас есть бесконечная последовательность следующих (обычно, вещественных) чисел: , ,.. ,… Тогда можно определить следующее выражение: …=. Этот символ называется числовым рядом.

Числовой ряд — символ, составленный из членов бесконечной числовой последовательности, соединённых формальным символом «+».

Если сложить k первых членов последовательности ряда, то полученное число будет называться частичной суммы k членов данного ряда.

Числовую последовательность можно задать не только перечислением членов этой последовательности, но и общей формулой, по которой можно получить член этой последовательности по его номеру n. В этом случае эта формула называется общим членом ряда и записывается перед заглавной греческой буквой «сигма», математическим знаком суммирования, сверху и снизу которой ставятся пределы суммирования.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочерёдно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Общий вид знакопеременного ряда задаётся следующей формулой:

Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным.

Сумма первых n членов называется частичной суммой Sn.

Сходимость ряда[править]

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм — этот предел называется суммой ряда (говорят также, что «ряд сходится»).

В противном случае ряд называется расходящимся (говорят, что «ряд расходится»).

Признаки сходимости:

Необходимый признак используется для определения расходимости ряда .

Признак сравнения используется или для определения сходимости меньшего (доминируемого) ряда или для определения расходимости большего (доминирующего) ряда .

Признак Даламбера используется для определения сходимости или расходимости ряда при условии .

Радикальный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда при условии .

Интегральный признак Коши используется для определения сходимости или расходимости ряда при условии существования интегрируемой функции .

Признак Раабе используется для определения сходимости или расходимости ряда .

Признак Лейбница используется для определения сходимости знакопеременного ряда .

Виды функциональных рядов[править]


Другие понятия[править]


Литература[править]

  • Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики — М.: «Наука», 1975.